微积分100道例题及解答 积分过程中x不积分积分结果的

2022-11-23 14:06 · rilila.com

导读:说到微积分,我们很多人都知道,有人问微积分例题及答案,另外,还有人问大一高数微积分知识点,这到底是咋回事?事实上微积分100道例题及解答呢,下面小编就为大家说说微积分100道例题及解答,希望能帮到大家。

微积分100道例题及解答

如上图所示。

1、x∫f(t)dt = ∫xf(t)dt

因为x相对于后面的关于t的积分是一个常数,积分过程中,x不积分,积分结果的表达式如何与x在积分符合里外无关

如f(t)=t,则x∫tdt = x·(t²/2)|[0,x] = x³/2, ∫xtdt = (xt²/2)|[0,x] = x³/2

2、∫(0,x)(x-t)f(t)dt这个积分,t的取值范围是0<t<x

3、按中值定理,∫(0,x)f(t)dt =f(y)(x-0), (0<y<x), ∫(0,x)(x-t)f(t)dt = (x-z)f(z)·(x-0) (0<z<x)

这里,y,z就是中值定理中的那个必然存在的一点

由于对0<y,z<x

f(y)>0, (x-z)f(z)>0 (见当0<t<x时,f(t)>0, (x-t)f(t)>0,是y、z还是t没有关系,只是换了个字母,满足条件在0和x之间就行)

而y>0,z>0

所以f(y)(x-0) =f(y)x>0, (x-z)f(z)·(x-0) = (x-z)f(z)x > 0

微积分极限求值公式和导数求导公式及例题

dx : x的无穷小的增量.

f(x): 在x位置上的函数值.

f(x+dx): 在x+dx位置上的函数值.

f‘(x): 函数f(x)的导函数,也是函数在x的位置上,函数的切线的斜率.

f(x+dx)-f(x):从x的位置变化到x+dx位置(无穷小的增加量),而引起的函数值

的无穷小的增加量.

f'(x)dx: 用函数上某点的导数,也就是某点的斜率,横坐标增加dx时,所引起

的函数值的变化量,也就是函数值的无限小的增量.

f(x+dx)-f(x)=f'(x)dx的整体意义:

1、原本这是导数f'(x)的定义式:

f'(x) = [f(x+dx)-f(x)]/dx 在平时的教科书上是用极限表示的,

在用极限表示时,dx要写成△x.

2、写成上式的形式时,表示函数的增量是由导函数乘以自变量的无穷小增量直接决定的.

这就给工程上、实验科学上的误差分析提供了理论依据,△f = f‘(x)△x,这样就可以估

计误差了.

3、同时,也给理论上估计提供了一个方法:f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx.

例如:根号25.12 = 根号25 + (½)[1/根号25]×0.12 = 5.012 (准确值5.0119856)

4、进而给牛顿近似计算法、级数展开提供了理论基础.

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大一微积分课后习题答案

如图

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嗯啊

微积分练习题,第1,4题,求详解。

大学微积分课后习题

证明:

由于x趋于1时,x-1趋于0

lnx=ln[(x-1)+1]

x-1趋于0,ln[(x-1)+1]与x-1等价无穷小。

故:原式

=lim(x-1)*sin[1/(x-1)]

再用夹逼定理:

在x趋于1的某邻域内:sin[1/(x-1)]E[-1,1]

-|x-1|<=(x-1)sin([1/(x-1)<=|x-1|

而:

lim-|x-1|=0 lim|x-1|=0

故:lim(x-1)sin[1/(x-1)]=0

故原式=0

此题可直接夹逼定理:

f(x)=lnxsin(1/(x-1))

g(x)=-|lnx| u(x)=|lnx|

由于: sin(1/(x-1)E[-1,1]

故:g(x)<=f(x)<=u(x)

limg(x)=-ln1=0 limu(x)=0

故limf(x)=0

求大学微积分的无穷小分出法的例题。

lim当x→∞时,

(3x^2+1)/(2x^2+x+1)

这个题是无穷小量分出法类的题,做做试试看。

大学微积分,课本例题

定积分之前加一个负号就相当于将积分的上下限改变,比如它的原函数是F(x),则-(F(0)-F(a))=F(a)-F(0)

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